Cuando uno escucha la palabra “álgebra”, recuerda aquellas clases de matemáticas en la escuela en las que se aprende a resolver ecuaciones cada vez más complicadas (normalmente muy tediosas).  Resulta que esto es sólo una parte muy pequeña de lo que se conoce como álgebra moderna en matemáticas.  Cuando uno escucha este nombre la primera idea que le viene a la cabeza es “más de lo mismo de aquellas cosas que vi en la secundaria”, pero resulta ser un área muchísimo más rica e interesante.

            Lo que estudia el álgebra es lo que se conoce como “estructuras algebraicas”.  Las estructuras algebraicas son conjuntos donde uno tiene algunas operaciones entre los elementos.  Por ejemplo, la primera de estas estructuras que conocemos son los números enteros positivos y aprendemos algunas de sus propiedades con sus operaciones de suma y multiplicación.  Así sigue uno conociendo cada vez más estructuras, casi siempre hasta llegar a los números complejos.

            El objetivo del álgebra moderna es el estudio de este tipo de espacios pero desde un punto de vista más abstracto.  Es decir, encontrar propiedades generales de todas las estructuras algebraicas que tengan ciertas condiciones.  Por ejemplo, que tengan dos operaciones que se lleven bien (como la suma y el producto).  Dependiendo de las propiedades que se le pidan al espacio reciben diversos nombres (como grupo, campo, álgebra de Lie, etc...), pero en el fondo la filosofía es la misma.  Gran parte del álgebra moderna es el estudio de polinomios con variables en estos espacios y cómo resolverlos.

            Por la manera en la que uno conoce el álgebra en la escuela podría parecer que lo más complicado que se puede obtener son los números complejos.  Si no, al menos que cualquier estructura va a ser una que los contenga y sea más complicada.  Sin embargo, se pueden encontrar ejemplos completamente diferentes.  Por ejemplo, considera el conjunto de todas las posiciones al las que se puede llegar en un cubo de Rubik.  Si tenemos dos de estas posiciones, podemos definir una operacion entre ellas como hacer primero los movimientos que se necesitan para llegar a la primera y luego hacer los movimientos que se necesitan para llegar a la segunda.  Eso nos da una estructura algebraica muy rica con una cantidad finita de puntos.  Otro ejemplo interesante podrían ser todas las funciones continuas de los reales a los reales, y que una operaciones sea la composición.

            La cantidad de estas estructuras es enorme, y también lo es la cantidad de técnicas que se usan para estudiarlas (aunque esto ya requiere mucho conocimiento técnico).  Sin embargo, ¿para qué sirve el álgebra moderna?  Recuerdo que en la licenciatura se le hizo esa misma pregunta a un maestro el primer día de su curso de álgebra moderna 1.  Su respuesta fue: “Si las quieres para ir a hacer el mandado, no te van a servir de nada.”.  El álgebra moderna es un área que tiene grandes repercusiones dentro de las matemáticas y a veces en otras ciencias (el profesor nos mencionó algunos ejemplo, esa no fue toda su respuesta), pero pocas en la vida diaria.  De los usos en matemáticas (en otras áreas) los que normalmente se mencionan son los siguientes:  Demostrar  que no se puede trisectar un ángulo con regla y compás, Demostrar que hay algunas funciones bonitas cuya integral no se puede escribir usando puras funciones sencillas y demostrar que no hay un equivalente a la fórmula cuadrática para polinomios de grado mayor o igual a 5.  Las dos primeras son aplicaciones a geometría y al cáclulo que inicialmente no parecen tener nada que ver con álgebra moderna.  Yo siempre he sentido que mencionar sólo unas cuantas no le hace justicia al algebra.  El simple hecho de que haya areas grandes de las matemáticas como la geometría algebraica o la topología algebraica donde se estudian otros temas desde el punto de vista del álgebra moderna dice más que algunas aplicaciones.

            En otras ciencias, el álgebra moderna es de las pocas áreas de las matemáticas que tienen muchas aplicaciones.  Por ejemplo, gran parte de la motivación del estudio de teoría de representaciones es por interés de los físicos (sobre todo en física cuántica).  En biología se suele encontrar relaciones a niveles microscopicos, cuando se estudia la estructura de proteínas o viruses, con temas de este estilo.  En computación se encuentra constantemente con todo lo relacionado a codificaciones y manejo de información.

            Al final, es una de las áreas más importantes de las matemáticas.  Digo esto en el sentido que cualquier buen matemático ha llevado cursos de álgebra, a diferencia de muchas otras áreas.  Curiosamente (al menos en mi experiencia) cuando uno aprende álgebra moderna es la primera vez en la licenciatura que uno siente que está aprendiendo matemáticas “de verdad”.   Si tienes más interés al respecto, te recomiendo ampliamente que busques libros de divulgación acerca de estos temas (¡hay muchos!).