¿Qué significa “geometría” y cuántas hay? Desde que estamos en la primaria entramos en contacto con lo que es la geometría. La idea general que una persona tiene de esto es “aquella parte de las matemáticas en las que se estudiaban objetos en el plano o en el espacio”. Aparte de poder calcular el área o volumen de ciertas figuras y otro par de curiosidades, mucha gente se olvida por completo del tema y no se pregunta realmente qué significa esta palabra. Resulta que el término “geometría” se refiere a algo mucho más amplio, y que lo que se enseña en la escuela es sólo parte de una geometría muy particular. El primer estudio de la geometría se le atribuye a los egipcios. Para ellos la geometría significaba una herramienta para poder medir terrenos y calcular áreas. El primer tratamiento formal (es decir, como tema de interés independiente) fue el de los griegos. Euclides propone los 5 axiomas de la geometría, que son básicamente las reglas a seguir para construir todo lo demás. Estos son los siguientes enunciados. • Por cualesquiera dos puntos se puede trazar un segmento. • Cualquier segmento se puede extender a una única recta. • Dado un punto y una distancia hay un círculo con centro en ese punto y radio esa distancia. • Todos los ángulos rectos son iguales. • Dada una recta y un punto fuera de ella hay una única paralela a la recta por ese punto. Jugando con estos axiomas uno puede empezar a trabajar. La geometría que definen es conocida como el plano euclidiano y es básicamente la que uno conoce de niño. También está la geometría del espacio, así que hasta el momento llevamos dos. En el siglo XIX Descartes hace la geometría analítica, que es básicamente darle una forma algebraica al plano, definir recta, punto y distancia ahí y ver que los axiomas de Euclides se satisfacen. Estas son las herramientas que se usan para construir edificios o el diseño de objetos que usamos comúnmente. En ese momento ya crece muchísimo el número de geometrías, ya que las ideas de Descartes se pueden generalizar para generar espacios de cualquier dimensión. Para estos ya no hay “dibujo”, pero en muchos aspectos se comportan como los el plano o el espacio. Ya empiezan a aparecer objetos que se escapan un poco de nuestra imaginación, como esferas en cuatro dimensiones, o sólidos regulares de dimensión cuarenta. Sin embargo, uno puede ir más allá y empezar a cuestionar los axiomas de Euclides. ¿Por qué debe haber una sola paralela por un punto dado? ¿Por qué no puede haber varias, o ninguna? Resulta que, como objetos matemáticos, estos espacios sí existen. Dan lugar a la geometría hiperbólica (cuando hay muchas paralelas) y a la geometría proyectiva (cuando no hay paralelas). Parece a primera vista que son objetos que sólo le interesarían a un matemático, pero eso está lejos de ser cierto. Por ejemplo, la geometría en la esfera es proyectiva, así que para calcular rutas de aviones y barcos es mucho más sensato hacerlo con un modelo proyectivo. El espacio realmente tiene una “curvatura” debido a la gravedad, así que en ciertas partes (donde hay mucha materia) se comporta como un espacio proyectivo y (donde hay poca) como uno hiperbólico. En general se estima que el universo es un espacio hiperbólico. Esto es de gran importancia para calcular trayectorias de objetos en el espacio y mandar satélites. ¿Qué clase de modelo crees que usa un GPS? Además, estos planos son objetos matemáticos son muy interesantes y cumplen montones de propiedades que en el plano “normal” no podríamos ni soñar. Por ejemplo, en el plano proyectivo podemos encontrar triángulos donde todos los ángulos son rectos. El plano hiperbólico se puede cubrir con polígonos regulares de siete lados (o cualquier otro número). Esto da lugar a dibujos como los de Escher, donde un circulo se divide en ángeles y demonios. Si uno estuviera en el plano hiperbólico, ese mismo dibujo se podría hacer, y todas las figuras tendrían el mismo tamaño. A estos espacios también se les llama geometrías porque preservan los primeros 4 axiomas de Euclides. Por cierto, también se pueden definir los espacios proyectios e hiperbólicos de muchas dimensiones. Ahora que los físicos dicen que vivimos en un espacio de dimensión 26 en la que muchas están “muy dobladas” conviene saber manejarlos de manera apropiada. Sin embargo uno se puede ir mucho más lejos. La clave está en el cuarto axioma de Euclides. ¿A qué se refiere con “Todos los ángulos rectos son iguales”? Lo que uno entiende es que si tenemos dos ángulos rectos, podemos mover uno hasta que queda exactamente igual que el otro. Con este axioma viene la idea de movimientos rígidos (no se vale “doblar más” el ángulo). Esta fue la base con la que Klein dio una definición muy diferente de “geometría”. Pimero, necesitamos un espacio. Este puede ser cualquier conjunto. Ya sean los puntos de la esfera, los puntos del plano, los de una superficie o incluso una cantidad finita puede funcionar. Luego, necesitamos las transformaciones del espacio. Es decir, las maneras en las que podemos mover los puntos. Por ejemplo, en el plano serían las rotaciones, traslaciones o reflexiones por una recta (y sus composiciones). A partir de esto ya se puede estudiar ese espacio. El objetivo ahora es estudiar las cosas que no cambian bajo estas transformaciones. Por ejemplo, la transformaciones rígidas del plano mandan líneas en líneas y ángulos rectos en ángulos rectos. Esta definición es muchísimo más general. De hecho, da lugar a lo que se conocen como las “geometrías finitas”, como la que se muestra en el dibujo. Esa es la geometría de Fano, que consiste en siete puntos, siete rectas (el círculo que se ve es una de las rectas de esa geometría). Por cada punto pasan 3 rectas y cada recta está formada por 3 puntos. Ya con esto la cantidad de geometrías explota. Básicamente cualquier objeto define una geometría. Si uno se quiere fijar en cierto tipos de geometrías se abren varios campos de las matemáticas. Por ejemplo, las personas que hacen geometría diferencial o geometría algebraica estudian espacios donde se pueden usar herramientas de cálculo y álgebra. Si uno se quiere alejar un poco más puede perder perder la idea de movimiento “rígido” y trabajar en lo que se llama topología. También se puede hacer uso de axiomas más débiles y hacer teoría de matroides (la versión “sintética” de la geometría). Aunque la idea central del la geometría es poder estudiar los objetos que vemos, es un campo mucho más amplio de lo que aparenta. La cantidad de geometrías es increíblemente grande, y cada uno tiene propiedades interesantes. Cada una de las que mencioné podría ser motivo de varios cursos (o el tema central de su trabajo para algunas personas). Ya sea que se estudien por gusto propio o por aplicaciones directas, hay que tener en cuenta que son bastante más de las que uno cree y nos las encontramos de manera constante. Así, cuándo te encuentres con una persona que diga que es sólo “aquella materia que llevamos hasta la prepa” ya sabes cómo sacarle esa idea de la cabeza.