Un matemático se dedica a demostrar teoremas nuevos y encontrar relaciones entre conceptos e ideas. Para hacer esto, uno tiene que tener reglas básicas. Se debe saber qué significa “demostrar” o deducir de manera formal y cuáles son las herramientas que se pueden usar al principio. Estas herramientas (o “verdades absolutas”) son como las reglas del juego y es lo que uno cree sin cuestionar. El objetivo siempre es tener las bases más sencillas posibles y a partir de eso construir el resto de las matemáticas. Si hay muy pocas obtenemos un sistema que no es interesante; si son muchas puede que algunas no sean necesarias o (peor tantito) un sistema que no es consistente. Estas reglas se llaman axiomas. Los axiomas que son mayormente aceptados son los que se conocen como “los axiomas de Zermelo-Frenkel”. En estos se basa toda la teoría de conjuntos y usando esto se puede reproducir casi todo lo que hay de matemáticas. Estos axiomas son lo más sencillo que se puede, por ejemplo “Hay un conjunto vacío” o “La unión de un conjunto de conjuntos es a su vez un conjunto”. Cada axioma de ZF no se puede demostrar usando los otros, y todos son necesarios para construir las partes importantes de la teoría de conjuntos. Es sorprendente cómo a partir de estos axiomas se puede dar base a casi todas la matemáticas que hay. El único problema es que a pesar de esto, parece haber algunos “huecos” que no se pueden llenar con los axiomas de ZF. Para esto, se usa lo que se conoce como el axioma de elección. Este ha sido conocido como el “axioma problema” por varias razones. La más importante es que para muchos matemáticos no era una proposición natural. Es decir, es suficientemente complicado como para romper con la idea de un axioma. La segunda, es que a diferencia de los otros axiomas, no es constructivo. En los dos ejemplos que mencionamos antes (el axioma del vacío y el axioma de unión) se obtiene un conjunto que se puede describir de manera directa. El axioma de elección es un axioma de existencia, y eso rompe con los demás. Lo que dice el axioma de elección es (de manera poco formal) lo siguiente “Dado un conjunto de conjuntos no vacíos, podemos sacar un elemento de cada conjunto para formar un conjunto nuevo”. De entrada puede parecer algo muy claro, pero resulta que es un asunto muy delicado. Por ejemplo, si tenemos una infinidad de parejas de zapatos y queremos elegir uno de cada pareja es muy sencillo, podemos agarrar todos los zapatos izquierdos. En cambio si tenemos una infinidad de parejas de calcetines, ya no podemos decir “siempre el izquierdo” porque eso ya no hace diferencia. En este caso, hay que ir pareja por pareja eligiendo un calcetín. Esto es el mayor problema con el axioma. También, si uno cree el axioma de elección, se pueden demostrar algunas cosas que van completamente en contra de la intuición. La más famosa es la paradoja de Banach-Tarski. Usando el axioma de elección, demostraron que se puede cortar una esfera sólida en 5 pedazos de tal manera que al juntar por un lado 2 de estos pedazos y por otro lado los otros 3 obtenemos dos esferas sólidas del mismo radio que la esfera original. Es decir, se podía duplicar una esfera. Por supuesto, estos pedazos son nubes de puntos, y no es algo que se pueda hacer con una naranja y un cuchillo. Esto rompe con la idea que uno tiene de volumen, ya que a las esferas que obtenemos al final no les hace falta ningún punto, son idénticas a la original. Durante mucho tiempo los matemáticos que se dedican a la teoría de conjuntos, lógica o áreas afines han intentado demostrar o refutar el axioma de elección usando el resto de los axiomas. Ninguno de estos esfuerzos resultó en éxito, y la razón de esto es verdaderamente sorprendente. Lo primero que sucedió es que Göedel demostró que “si los axiomas de ZF forman un sistema consistente, al agregarles el axioma de elección también lo hacen”. Es decir, ZF es compatible con el axioma de elección. Esto fue un gran alivio para las personas que habían usado el axioma de elección, porque básicamente significa que no había ningún problema con usarlo. Todavía faltaba ver si era posible demostrar este axioma usando los otros. En 1964, Cohen demostró casi lo mismo que Göedel pero con la negación del axioma de elección. Es decir, ZF también es compatible con la negación del axioma de elección. Esto quiere decir que el axioma de elección es independiente de ZF. Si uno lo acepta, tiene algunos problemas como la paradoja de Banach-Tarski. Si uno no lo acepta, aunque no tengamos esas paradojas, perdemos parte importante de las matemáticas como teoremas importantes de álgebra lineal o análisis. Ahora hay un gran esfuerzo por saber qué tanto se puede demostrar sin tener que usar el axioma de elección y para qué cosas es realmente importante. Normalmente, un matemático que no trabaja con teoría de conjuntos o fundamentos de las matemáticas no se preocupa mucho por esto y acepta el axioma de elección. Sin embargo, es importante tener en cuenta que se puede considerar dicho axioma como falso y eso da base a un sistema bastante diferente a aquél con el que se trabaja normalmente.